Question

19．若a＞0，b＞0，a+b=2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是（　　）

• A． ab≥1
• B． $\sqrt{a}$+$\sqrt$＞2
• C． a³+b³≥3
• D． $\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥2

Answer 1

分析 對于此類問題需要逐一判斷命題的真假性，可用排除法求解，用特殊值法代入排除B、C，其他命題用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$進行判斷即可．

解答 解：對于A，ab≥1：由2=a+b≥2$\sqrt{ab}$，∴ab≤1，命題A錯誤；
對于B，$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞2：令a=b=1，則$\sqrt{a}$+$\sqrt$=2，所以命題B錯誤；
對于C，a³+b³≥3：令a=1，b=1，則a³+b³=2＜3，所以命題C錯誤；
對于D，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥2：由a+b=2，0＜ab≤1，得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{2}{ab}$≥2，命題D正確．
故選：D．

點評 本題主要考查了基本不等式的應用問題，也考查了特殊值判斷命題真假的問題，是基礎題目．