Question

已知函數(shù)f（x）=

4x2+1

x

（x＞0）．
（1）求數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，

1

an+1

=f(an)，求a_n；
（2）若b_n=a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²，是否存在最小正整數(shù)P，使對任意x∈N^*，都有b_n＜

P

25

成立．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

1

an+1

=f(an)化簡可得數(shù)列{

1

a 2 n

}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，求出數(shù)列{

1

a 2 n

}通項(xiàng)，從而求出a_n；
（2）根據(jù)（1）可求出b_n，從而求出b_n+1，將兩式作差得b_n+1-b_n＜0，得到{b_n}是遞減數(shù)列，存在最大項(xiàng)b₁，只需b₁＜

P

25

求出P，即可求出所求．

解答：解：（1）由

1

an+1

=

4 a 2 n +1

an

得(

1

an+1

)2-(

1

an

)2=4
∴數(shù)列{

1

a 2 n

}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列
∴

1

a 2 n

=4n-3，又a_n＞0，所以a_n=

1 4n-3

（2）根據(jù)（1）得b_n=a_n+1²+a_n+2²+…+

a

2 2n+1

=

1

4n+1

+

1

4n+5

+…+

1

8n+1

b_n+1=

1

4n+5

+

1

4n+9

+…+

1

8n+9

因?yàn)閎_n+1-b_n=

1

8n+5

+

1

8n+9

-

1

4n+1

＜

2-2

8n+4

=0，所以{b_n}是遞減數(shù)列
存在最大項(xiàng)b₁=

1

5

+

1

9

=

14

45

，依題意，只需b1=

14

45

＜

P

25

，解得P＞

70

9

又P∈N^*，所以存在最小正整數(shù)P=8，使不等式成立．

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的判定，以及數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列與函數(shù)的綜合、數(shù)列與不等式的綜合，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．