Question

9．在[0，$\frac{π}{2}$]上任取一個實數(shù)，使$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$的概率為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 首先將不等式的左邊化簡為一個復(fù)合角的形式，然后在[0，$\frac{π}{2}$]上求出滿足不等式的x的范圍，再由幾何概型公式解答即可．

解答 解：因為$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{3}$），
因為x∈[0，$\frac{π}{2}$]⇒x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，當(dāng)x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]時，sin（x+$\frac{π}{3}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由幾何概型公式得到使$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$的概率為$\frac{\frac{π}{3}}{\frac{π}{2}}=\frac{2}{3}$；
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡以及幾何概型；關(guān)鍵是正確化簡三角函數(shù)為一個復(fù)合角，一個三角函數(shù)名稱的形式，得到滿足不等式的x范圍，再利用幾何概型公式解答．