Question

對于正整數(shù)k，g（k）表示k的最大奇因數(shù)，如g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，…，記f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ），其中n為正整數(shù)．
（1）分別計算g（1）+g（3）+g（5）+g（7）；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）；g（2）+g（4）+g（6）+g（8）；
（2）求證：當(dāng)n≥2時，f（n）=4^n-1+f（n-1）；
（3）記a_n=f（n+1）+k（-1）ⁿf（n），當(dāng){a_n}為遞增數(shù)列時，求實數(shù)k的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）k的最大奇因數(shù)是指k的約數(shù)當(dāng)中的最大的奇數(shù)，由此定義可得g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，g（5）=5，g（6）=3，g（7）=7，g（8）=1，代入要求了代數(shù)式，即可以得出它們的值；
（2）正整數(shù)分為正奇數(shù)和正偶數(shù)，由此將從1、2、…，到2ⁿ的數(shù)進行分類，可得當(dāng)n≥2時，f（n）=g（1）+g（2）+
g（3）+…+g（2ⁿ）=g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）=（2^n-1）²+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1））=4^n-1+f（n-1），等式成立；
（3）在（2）的結(jié)論的基礎(chǔ)上，可得f（n）-f（n-1）=4^n-1，然后分別將n=1、n=2、n=3，…，代入用累加的方法可以求得
f（n）=4²+4³+…+4^n-1+f（2）=成立，由此代入a_n=f（n+1）+k（-1）ⁿf（n），得出a_n的表達式．最后討論{a_n}為遞增數(shù)列，說明a_n+1-a_n＞0在正整數(shù)范圍內(nèi)恒成立，可以得出．
解答：解：（1）g（1）+g（3）+g（5）+g（7）=1+3+5+7=16；
g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6；
g（2）+g（4）+g（6）+g（8）=1+1+3+1=6
（2）證明：∵g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2k）
=g（2•1）+g（2•2）+g（2•3）+…+g（2•k）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（k）
∴當(dāng)n≥2時，f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）
=g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）
=1+3+5+…+（2ⁿ-1）+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）
==4^n-1+f（n-1）
（3）由（2）得，當(dāng)n≥2時，f（n）=4^n-1+f（n-1），即f（n）-f（n-1）=4^n-1
∴f（3）-f（2）=4²，f（4）-f（3）=4³，f（n）-f（n-1）=4^n-1
可得f（n）=4²+4³+…+4^n-1+f（2）=
當(dāng)n=1時，f（1）=g（1）+g（2）=1+1=2也成立，
∴n∈N^*

∵{a_n}為遞增數(shù)列
∴當(dāng)n∈N^*時，a_n+1-a_n==恒成立
當(dāng)n為正奇數(shù)時，
∵當(dāng)n=1時，取到最大值-2
∴k＞-2；
當(dāng)n為正偶數(shù)時，
∵當(dāng)n=2時，取到最小值
∴
∴
點評：本題綜合了數(shù)列的通項與求和的方法、函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立等復(fù)雜知識點，屬于難題．解題時要注意數(shù)列當(dāng)中的歸納方法與證明不等式恒成立時的放縮的技巧，本題綜合性較強，適合基礎(chǔ)較好的同學(xué)．