Question

如圖，某紙箱廠用矩形硬紙板（PQST）割去四個(gè)矩形角，設(shè)計(jì)為按虛線折疊成的長(zhǎng)方體紙箱．其中矩形ABCD為長(zhǎng)方體的下底面，兩全等矩形EFNM、HGNM拼成長(zhǎng)方體紙箱蓋，設(shè)紙箱長(zhǎng)AB為x．
（Ⅰ）若長(zhǎng)方體紙箱的長(zhǎng)、寬、高分別為80cm、50cm、40cm、則硬紙板PQST的長(zhǎng)、寬應(yīng)為多大？
（Ⅱ）若硬紙板PQST的長(zhǎng)PT=240cm，寬TS=150cm，按此設(shè)計(jì)，當(dāng)紙箱的長(zhǎng)AB為何值時(shí)，紙箱體積最大？并計(jì)算最大體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意：PQ=AB+2H₁A=80+2×40=160（cm），
PT=AD+2AH+2HM=2AD+2AH=2×50+2×40=180（cm）．
（Ⅱ）∵PT=240，PQ=150，AB為x（0＜x＜150），
∴AH=AH₁=（TS-AB）=（150-x）．
∵AD=M₁H+EM，AH=DE，
∴AD=（MM₁-2AH）=（PT-2AH）=[240-（150-x）]=45+x，
∴紙箱體積V（x）=x（150-x）（45+x）=-x³+15x²+3375x．
V′（x）=-x²+30x+3375．
令V′（x）=0，x²-40x-4500=0，解得：x₁=90，x₂=-50（不合題意，舍去）．
當(dāng)x∈（0，90）時(shí)，V′（x）＞0，V（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（90，150）時(shí)，V′（x）＜0，V（x）是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=90時(shí)，V（x）取到極大值V（90）=243000．
∵V（x）在（0，150）上只有一個(gè)極值，所以它是最大值．
∴當(dāng)紙箱的長(zhǎng)AB=90時(shí)，紙箱體積最大，最大體積為243000（cm³）．
分析：（Ⅰ）由PQ=AB+2H₁A，PT=AD+2AH+2HM=2AD+2AH，計(jì)算可得；
（Ⅱ）設(shè)AB為x（0＜x＜150），則AH=AH₁=（TS-AB）=（150-x），AD=（MM₁-2AH）=（PT-2AH）=[240-（150-x）]=45+x，紙箱體積V（x）可表示為x的三次函數(shù)，利用求導(dǎo)法可得所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了長(zhǎng)方體模型的實(shí)際應(yīng)用，考查了建立三次函數(shù)解析式，用導(dǎo)數(shù)法求它在定義域上的最值問題，屬于較難題目．