Question

8．在銳角△ABC中，A=60°．
（1）求　sinA+sinB+sinC的取值范圍；
（2）求　sinAsinBsinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由銳角△ABC中，A=60°．推導(dǎo)出sinA+sinB+sinC=sin60°+sinB+sinC=3sin（B+60°）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出sinA+sinB+sinC的取值范圍．
（2）推導(dǎo)出sinAsinBsinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinBsin（120°-B）$=$\frac{2\sqrt{3}}{8}$sin（2B-30°）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$，由此能求出sinAsinBsinC的取值范圍．

解答 解：（1）∵在銳角△ABC中，A=60°．
∴sinA+sinB+sinC=sin60°+sinB+sinC
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sinB+sin（120°-B）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}+sinB+sin120°cosB-cos120°sinB$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB$
=3sin（B+60°）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0°＜B＜90°，∴60°＜B+60°＜150°，
∴3sin（B+60°）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{6+\sqrt{3}}{2}$]．
∴sinA+sinB+sinC的取值范圍是（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{6+\sqrt{3}}{2}$]．
（2）sinAsinBsinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinBsin（120°-B）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinB（sin120°cosB-cos120°sinB）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinB（\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB）$
=$\frac{3}{4}sinBcosB+\frac{\sqrt{3}}{4}si{n}^{2}B$
=$\frac{3}{8}sin2B+\frac{\sqrt{3}}{4}•\frac{1-cos2B}{2}$
=$\frac{3}{8}sin2B-\frac{\sqrt{3}}{8}cos2B+\frac{\sqrt{3}}{8}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{8}$sin（2B-30°）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∵0°＜B＜90°，∴-30°＜2B-30°＜150°，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{8}$sin（2B-30°）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$∈（0，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$]，
∴sinAsinBsinC的取值范圍是（0，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查銳角三角形三個(gè)內(nèi)角的正弦值之和的取值范圍和三個(gè)內(nèi)角的正弦值之積的取值范圍的求法，考查兩角差正弦定理、二倍角公式、恒等變換、正弦函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．