Question

定義在R上的函數(shù)f（x）可導(dǎo)，且f（x）圖象連續(xù)，當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+x^-1f（x）＞0，則函數(shù)g（x）=f（x）-x^-1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+x^-1f（x）＞0，可以得到函數(shù)xf（x）單調(diào)性，g（x）=f（x）-x^-1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)為函數(shù)y=xf（x）-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得y=xf（x）-1＞-1，有2個(gè)零點(diǎn)．

解答：解：∵f'（x）+x^-1f（x）＞0，
∴

xf′(x)+f(x)

x

＞0，
當(dāng)x＞0時(shí)，xf'（x）+f（x）＞0，即[xf（x）]'＞0，則函數(shù)y=xf（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時(shí)，xf'（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]'＜0，函數(shù)y=xf（x）單調(diào)遞減，
又g（x）=f（x）-x^-1=

xf(x)-1

x

，函數(shù)g（x）=

xf(x)-1

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)為函數(shù)y=xf（x）-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，y=xf（x）-1＞-1，當(dāng)x＜0時(shí)，y=xf（x）-1＞-1，
∴函數(shù)y=xf（x）-1有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)g（x）=f（x）+x^-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，涉及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．屬中檔題．