精英家教網(wǎng)如圖所示，橢圓過點B(0，
5
)，點F、A分別為橢圓的右焦點和右頂點且有
AF
=
FM
=
1
2
FO
．
（1）求橢圓的方程．
（2）若動點P（x，y），符合條件：
PM
•
PA
=0，當y≠0時，求證：動點P（x，y）一定在橢圓內部．
分析：（1）先根據(jù)題意確定b=
5
，再由
AF
=
1
2
FO
可以得到a=
3
2
c，最后根據(jù)橢圓的基本性質a2=b2+c2可以求出a，b，c的值，從而確定橢圓方程．
（2）先求出點F，M，A的坐標，根據(jù)P滿足條件
PM
•
PA
=0可得到p軌跡方程，然后與橢圓方程聯(lián)立發(fā)現(xiàn)僅有一個公共點A（3，0），又因為當y≠0時考慮，故要舍棄，從而得證．
解答：解：（1）依題意得：b=
5

∵
AF
=
1
2
FO
，
∴2（a-c）=c，
∴a=
3
2
c
∵a2=b2+c2，∴c=2
∴a=3，c=2，b=
5
，
故橢圓的方程
x2
9
+
y2
5
=1．

（2）由動點P（x，y）符合條件
PM
•
PA
=0，F(xiàn)（2，0）、M（1，0）、A（3，0）
得P（x，y）的軌跡方程：（x-2）2+y2=1，是以F（2，0）為圓心，1為半徑的圓．
聯(lián)立橢圓的方程
x2
9
+
y2
5
=1得：公共點僅為A（3，0）
又y≠0所以A（3，0）舍去，從而該圓始終在橢圓內部．
故動點P（x，y）一定在橢圓內部．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質和動點的軌跡方程．橢圓在圓錐曲線中占據(jù)重要的位置，在高考中所占的比重特別大，一定要強化復習．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
5
5
，且A（0，2）是橢圓C的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點A作斜率為1的直線l，設以橢圓C的右焦點F為拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點，若點M為拋物線E上任意一點，求點M到直線l距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點為 F（1，0），且過點(
2
，
6
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A、B為橢圓上的點，且直線AB垂直于x軸，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．
（�。┣笞C：點M恒在橢圓C上；
（ⅱ）求△AMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

(2006江西，21)如圖所示，橢圓(a＞b＞0)的右焦點為F(c，0)，過點F的一動直線m繞點F轉動，并且交橢圓于A、B兩點，P為線段AB的中點．

(1)求點P的軌跡H的方程；

(2)若在Q的方程中，令，．確定θ的值，使原點距橢圓Q的右準線l最遠．此時，設l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉動到什么位置時，△ABD的面積最大?

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年陜西省高三最后沖刺數(shù)學理工類模擬試卷 題型：解答題

（本題滿分12分） 如圖所示，橢圓過點，點、分別為橢圓的右焦點和右頂點 且有 

（1）求橢圓的方程

（2）若動點，符合條件：，當時，求證：動點一定在橢圓內部

                                                           

                                                          

                                                           

B
 

y
 
                                                                                  

                                                                        

A
 

X
 
 

 

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