Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°
（Ⅰ）證明AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A₁C=

6

，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題目給出的邊的關系，可想到去AB中點O，連結OC，OA₁，可通過證明AB⊥平面OA₁C得要證的結論；
（Ⅱ）在三角形OCA₁中，由勾股定理得到OA₁⊥OC，再根據(jù)OA₁⊥AB，得到OA₁為三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，利用已知給出的邊的長度，直接利用棱柱體積公式求體積．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
取AB的中點O，連結OC，OA₁，A₁B．
因為CA=CB，所以OC⊥AB．
由于AB=AA₁，∠BAA1=60°，故△AA₁B為等邊三角形，
所以OA₁⊥AB．
因為OC∩OA₁=O，所以AB⊥平面OA₁C．
又A₁C?平面OA₁C，故AB⊥A₁C；
（Ⅱ）解：由題設知△ABC與△AA₁B都是邊長為2的等邊三角形，
所以OC=OA1=

3

．
又A1C=

6

，則A1C2=OC2+OA12，故OA₁⊥OC．
因為OC∩AB=O，所以OA₁⊥平面ABC，OA₁為三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．
又△ABC的面積S△ABC=

3

，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=S△ABC×OA1=

3

×

3

=3．

點評：題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了棱柱的體積，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．