Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n+1=S_n+2a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

n

an+1

(n∈N+)，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=S_n+2a_n+1，可得a_n+1=2a_n+1，進而可得{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）確定數(shù)列的通項，利用錯位相減法，可求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n+1=S_n+2a_n+1，∴a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1，∴a₁+1=2，∴{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列
∴a_n+1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1；
（Ⅱ）bn=

n

an+1

=n•(

1

2

)n，
∴T_n=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n①
∴

1

2

T_n=1×(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1②
①-②可得：

1

2

T_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
∴T_n=2-(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項與求和，考查錯位相減法，正確運用求和公式是關(guān)鍵．