Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)A（-2，-1）橢圓的左焦點(diǎn)為F，短軸端點(diǎn)為B₁、B₂，．
（1）求a、b的值；
（2）過點(diǎn)A的直線l與橢圓C的另一交點(diǎn)為Q，與y軸的交點(diǎn)為R．過原點(diǎn)O且平行于l的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P．若AQ•AR=3OP²，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）由題意，F(xiàn)（-c，0），B₁（0，-b），B₂（0，b），則
∵
∴c²-b²=2b²①
∵橢圓過點(diǎn)A（-2，-1）
∴②
由①②解得a²=8，b²=2
∴；
（2）由題意，設(shè)直線l的方程為y+1=k（x+2），代入橢圓方程可得（x+2）[（4k²+1）（x+2）-（8k+4）]=0
∵x+2≠0，∴，∴x_Q+2=
由題意，直線OP的方程為y=kx，代入橢圓方程可得（4k²+1）x²=8
∴
∵AQ•AR=3OP²，
∴
∴
∴k=1或k=-2
當(dāng)k=1時(shí)，直線l的方程為x-y+1=0；當(dāng)k=-2時(shí)，直線l的方程為2x+y+5=0
分析：（1）利用，可得c²-b²=2b²，根據(jù)橢圓過點(diǎn)A（-2，-1），可得，由此可求a、b的值；
（2）設(shè)直線l的方程代入橢圓方程，求出Q的橫坐標(biāo)；直線OP的方程代入橢圓方程，求出P的橫坐標(biāo)，利用AQ•AR=3OP²，建立方程，即可求得直線l的方程．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．