Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2+bx，且f'（-1）=0
（Ⅰ）試用含a的代數(shù)式表示b；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）令a=-1，設(shè)函數(shù)f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點(diǎn)M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），證明：線段MN與曲線f（x）存在異于M、N的公共點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）：已知f′（-1）=0，根據(jù)求導(dǎo)數(shù)的方法先求出f′（x），把x=-1代入得到關(guān)于a和b的等式解出b即可；
（Ⅱ）：令f′（x）=0求出穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)x的值1-2a和-1，根據(jù)1-2a和-1的大、小、相等分三種情況討論函數(shù)的增減性即可；
（Ⅲ）：利用反證法，假設(shè)線段MN與曲線f（x）不存在異于M、N的公共點(diǎn)．推出函數(shù)不單調(diào)矛盾．原結(jié)論正確．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²+2ax+b依題意，得f′（-1）=1-2a+b=0
故b=2a-1．
（Ⅱ）由（a）得f(x)=

1

3

x3+ax2+(2a-1)x
故f′（x）=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）
令f′（x）=0，則x=-1或x=1-2a
分情況討論得：
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化如下表：

（1）當(dāng)a＞1時(shí)，1-2a＜-1由此得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1-2a，-1）．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，1-2a=-1．此時(shí)f′（x）≥0恒成立，且僅在x=-1處f′（x）=0故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R．
（3）當(dāng)a＜1時(shí)，1-2a＞-1同理可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞）單調(diào)減區(qū)間為（-1，1-2a）．
（Ⅲ）假設(shè)線段MN與曲線f（x）不存在異于M、N的公共點(diǎn)．
當(dāng)a=-1時(shí)，由（a）的b=2a-1=-3．f（x）=

1

3

x3-x²-3x就不在區(qū)間內(nèi)單調(diào)與a＜-1單調(diào)減矛盾．
所以假設(shè)錯(cuò)誤．故線段MN與曲線f（x）存在異于M、N的公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)的方法，以及反證法的運(yùn)用．