Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦點，若在雙曲線上存在點P，滿足∠F₁PF₂=60°，|OP|=

7

a，則該雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A、x±

  3

  y=0
• B、

  3

  x±y=0
• C、x±

  2

  y=0
• D、

  2

  x±y=0

Answer 1

分析：假設(shè)|F₁P|=x，進(jìn)而分別根據(jù)中線定理和余弦定理建立等式求得c²+5a²=14a²-2c²，求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)b=

c2 -a2

求得a和的關(guān)系進(jìn)而求得漸近線的方程．

解答：解：假設(shè)|F₁P|=x
OP為三角形F₁F₂P的中線，
根據(jù)三角形中線定理可知
x²+（2a+x）²=2（c²+7a²）
整理得x（x+2a）=c²+5a²
由余弦定理可知
x²+（2a+x）²-x（2a+x）=4c²
整理得x（x+2a）=14a²-2c²
進(jìn)而可知c²+5a²=14a²-2c²
求得3a²=c²
∴c=

3

a
b=

2

a
那么漸近線為y=±

2

x，即

2

x±y=0
故選D

點評：本題將解析幾何與三角知識相結(jié)合，主要考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何圖形、幾何性質(zhì)、漸近線方程，以及斜三角形的解法，屬中檔題