(08年湖南卷理)(本小題滿分13分)

在一個特定時段內(nèi),以點E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東且與點A相距40海里的位置B,經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東+(其中sin=,)且與點A相距10海里的位置C.

(I)求該船的行駛速度(單位:海里/小時);

(II)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷

它是否會進入警戒水域,并說明理由.

解:  (I)如圖,AB=40,AC=10

由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行駛速度為(海里/小時).

(II)解法一   如圖所示,以A為原點建立平面直角坐標系,

設(shè)點B、C的坐標分別是Bx1,y2), Cx1,y2),

BCx軸的交點為D.

由題設(shè)有,x1=y1= AB=40,

x2=ACcos,

y2=ACsin

所以過點B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.

又點E(0,-55)到直線l的距離d=

所以船會進入警戒水域.

解法二:  如圖所示,設(shè)直線AEBC的延長線相交于點Q.

在△ABC中,由余弦定理得,

==.

從而

中,由正弦定理得,

AQ=

由于AE=55>40=AQ,所以點Q位于點A和點E之間,且QE=AE-AQ=15.

過點EEP BC于點P,則EP為點E到直線BC的距離.

在Rt中,PE=QE?sin

=

所以船會進入警戒水域.

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