Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=

k

3x+5

(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，并求最小值．

Answer 1

分析：（I）由建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=

k

3x+5

(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．我們可得C（0）=8，得k=40，進(jìn)而得到C(x)=

40

3x+5

．建造費(fèi)用為C₁（x）=6x，則根據(jù)隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達(dá)式．
（II）由（1）中所求的f（x）的表達(dá)式，我們利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費(fèi)用f（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為x_cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)=

k

3x+5

．
再由C（0）=8，得k=40，
因此C(x)=

40

3x+5

．
而建造費(fèi)用為C₁（x）=6x，
最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×

40

3x+5

+6x=

800

3x+5

+6x(0≤x≤10)
（Ⅱ）f′(x)=6-

2400

(3x+5)2

，令f'（x）=0，即

2400

(3x+5)2

=6．
解得x=5，x=-

25

3

（舍去）．
當(dāng)0＜x＜5時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)5＜x＜10時(shí)，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)=6×5+

800

15+5

=70．
當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬元．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解�！�還原四個(gè)過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．