Question

（2009•寧波模擬）已知拋物線x²=8y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且

AF

=λ

FB

(λ＞0)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M
（1）證明線段FM被x軸平分；       
（2）計(jì)算

FM

•

AB

的值；
（3）求證|FM|²=|FA|•|FB|．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求直線AM的方程為：y-

x 2 1

8

=

x1

4

(x-x1)，直線BM的方程為：y-

x 2 2

8

=

x2

4

(x-x2)，解方程可求M，由已知A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+2，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求線段FM中點(diǎn)的縱坐標(biāo)O，可證
（2）由

FM

=(4k，-4)，

AB

=(x2-x1，

x 2 2 - x 2 1

8

)，利用向量的數(shù)量積，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求
（3）由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可知

AM

⊥

BM

，即AM⊥MB，而 MF⊥AB，在直角△MAB中，利用射影定理可證

解答：證明：（1）設(shè)A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，由y=

x2

8

得y′=

x

4

直線AM的方程為：y-

x 2 1

8

=

x1

4

(x-x1)
直線BM的方程為：y-

x 2 2

8

=

x2

4

(x-x2)
解方程組得x=

x1+x2

2

，y=

x1x2

8

即M（

x1+x2

2

，

x1x2

8

）（3分） 
由已知

AF

=λ

FB

(λ＞0)可得A，A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+2
與拋物線方程x²=8y聯(lián)立消y可得：x²-8kx-16=0
∴x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16（5分）
∴

x1x2

8

=-2即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
∵F（0，2）
所以線段FM中點(diǎn)的縱坐標(biāo)O
即線段FM被x軸平分．                 （6分）
解（2）∵F（0，2），M（4k，-2），A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，
∴

FM

=(4k，-4)，

AB

=(x2-x1，

x 2 2 - x 2 1

8

)
∴

FM

•

AB

=4k(x2-x1)-

(x2-x1)(x2+x1)

2

=(x2-x1)(4k-

x1+x2

2

)=0   （9分）
證明：(3)∵

AM

=(

x2-x1

2

，-2-

x 2 1

8

)  

BM

=(

x1-x2

2

，-2-

x 2 2

8

)
∵

AM

•

BM

=-

(x1-x2)2

4

+(2+

x 2 1

8

)(2+

x 2 2

8

)=

x1x2

2

+4+

x 2 1 x 2 2

64

=-8+4+4=0（13分）
∴

AM

⊥

BM

，而 MF⊥AB所以在直角△MAB中，
由影射定理即得|FM|²=|FA|•|FB|（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，直角三角形的射影定理的應(yīng)用，屬于知識(shí)的綜合應(yīng)用．