Question

3．△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且三角形的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$accosB．
（1）求角B的大�。�
（2）若a=2$\sqrt{15}$，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，且AD=3，cos∠ADC=$\frac{2}{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanB=$\sqrt{3}$，由特殊角的三角函數(shù)值即可得解B的值．
（2）由已知可求∠CBD=$\frac{2π}{3}$，sin∠ADC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由正弦定理解得CD，進(jìn)而在△ADC中，由余弦定理可得b的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$accosB=$\frac{1}{2}$acsinB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）如圖，∵B=$\frac{π}{3}$．∴∠CBD=$\frac{2π}{3}$，
∵cos∠ADC=$\frac{2}{3}$，∴sin∠ADC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ADC}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴在△BCD中，由正弦定理$\frac{CD}{sin∠CBD}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，可得：$\frac{CD}{sin\frac{2π}{3}}=\frac{2\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$，解得：CD=9，
∴在△ADC中，由余弦定理可得：b²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC=9+81-2×$3×9×\frac{2}{3}$=54．
∴b=3$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，特殊角的三角函數(shù)值，正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．