已知a∈R,函數(shù)f(x)=x2|x-a|.
(Ⅰ) 當(dāng)a=1時(shí),求使f(x)=x成立的x的集合;
(Ⅱ) 判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)當(dāng)a>2時(shí),求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.
【答案】分析:(Ⅰ)分x≤1,x>1兩種情況討論去掉絕對值符號,然后解方程f(x)=x即可得到x的集合;
(Ⅱ)按a=0,a≠0兩種情況討論:a=0時(shí)易判斷函數(shù)奇偶性,當(dāng)a≠0時(shí),令x=±1可判斷函數(shù)f(x)的奇偶性情況;
(Ⅲ)設(shè)此最小值為m,a>2時(shí)求得f′(x)=3x(-x),按在區(qū)間[1,2]的右側(cè)、內(nèi)部兩種情況討論單調(diào)性,由單調(diào)性可得f(x)的最小值,當(dāng)2<a<3時(shí)根據(jù)f(1)與f(2)的大小進(jìn)行討論;
解答:解:(Ⅰ)由題意,當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2|x-1|,
當(dāng)x≤1時(shí),由f(x)=x2(1-x)=x,解得x=0;
當(dāng)x>1時(shí),由f(x)=x2(x-1)=x,解得
綜上,所求解集為
(Ⅱ)可以對a進(jìn)行如下分類討論:
(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2|x|=f(-x),x∈R,顯然,函數(shù)f(x)是偶函數(shù).
(2)當(dāng)a≠0時(shí),令x=±1可得:f(1)=|1-a|,f(-1)=|-1-a|=|1+a|
顯然f(1)≠f(-1)≠-f(1),
故函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).
(Ⅲ)設(shè)此最小值為m,當(dāng)a>2時(shí),在區(qū)間[1,2]上,f(x)=ax2-x3,
(1)若a≥3,在區(qū)間(1,2)內(nèi)f'(x)>0,從而f(x)為區(qū)間[1,2]上的增函數(shù),
由此得m=f(1)=a-1.
(2)若2<a<3,則
當(dāng)時(shí),f'(x)>0,從而f(x)為區(qū)間[1,a]上的增函數(shù);
當(dāng)時(shí),f'(x)<0,從而f(x)為區(qū)間[a,2]上的減函數(shù).
因此,當(dāng)2<a<3時(shí),m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).
當(dāng)時(shí),4(a-2)≤a-1,故m=f(2)=4(a-2);
當(dāng)時(shí),a-1<4(a-2),故m=f(1)=a-1.
綜上所述,所求函數(shù)的最小值m=
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查函數(shù)方程思想、分類討論思想,考查學(xué)生運(yùn)用知識解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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已知a∈R,函數(shù)f(x)=
1
12
x3+
a+1
2
x2+(4a+1)x

(Ⅰ)如果函數(shù)g(x)=f′(x)是偶函數(shù),求f(x)的極大值和極小值;
(Ⅱ)如果函數(shù)f(x)是(-∞,?+∞)上的單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

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已知a∈R,函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x2+ax+2.
(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)令a=-1,b∈R,已知函數(shù)g(x)=b+2bx-x2.若對任意x1∈(-1,+∞),總存在x2∈[-1,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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已知a∈R,函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-1,g(x)=(lnx-1)
e
x
 
+x
(其中e為自然對數(shù)的底).
(1)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)x0∈(0,e],使曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直?若存在求出x0的值,若不存在,請說明理由.

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(2013•太原一模)已知a∈R,函數(shù) f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),則曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為
3x+y=0
3x+y=0

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(2013•浙江)已知a∈R,函數(shù)f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),求|f(x)|的最大值.

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