【答案】
分析:(Ⅰ)分x≤1,x>1兩種情況討論去掉絕對值符號,然后解方程f(x)=x即可得到x的集合;
(Ⅱ)按a=0,a≠0兩種情況討論:a=0時(shí)易判斷函數(shù)奇偶性,當(dāng)a≠0時(shí),令x=±1可判斷函數(shù)f(x)的奇偶性情況;
(Ⅲ)設(shè)此最小值為m,a>2時(shí)求得f′(x)=3x(
-x),按
在區(qū)間[1,2]的右側(cè)、內(nèi)部兩種情況討論單調(diào)性,由單調(diào)性可得f(x)的最小值,當(dāng)2<a<3時(shí)根據(jù)f(1)與f(2)的大小進(jìn)行討論;
解答:解:(Ⅰ)由題意,當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x
2|x-1|,
當(dāng)x≤1時(shí),由f(x)=x
2(1-x)=x,解得x=0;
當(dāng)x>1時(shí),由f(x)=x
2(x-1)=x,解得
.
綜上,所求解集為
.
(Ⅱ)可以對a進(jìn)行如下分類討論:
(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x
2|x|=f(-x),x∈R,顯然,函數(shù)f(x)是偶函數(shù).
(2)當(dāng)a≠0時(shí),令x=±1可得:f(1)=|1-a|,f(-1)=|-1-a|=|1+a|
顯然f(1)≠f(-1)≠-f(1),
故函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).
(Ⅲ)設(shè)此最小值為m,當(dāng)a>2時(shí),在區(qū)間[1,2]上,f(x)=ax
2-x
3,
.
(1)若a≥3,在區(qū)間(1,2)內(nèi)f'(x)>0,從而f(x)為區(qū)間[1,2]上的增函數(shù),
由此得m=f(1)=a-1.
(2)若2<a<3,則
.
當(dāng)
時(shí),f'(x)>0,從而f(x)為區(qū)間[1,
a]上的增函數(shù);
當(dāng)
時(shí),f'(x)<0,從而f(x)為區(qū)間[
a,2]上的減函數(shù).
因此,當(dāng)2<a<3時(shí),m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).
當(dāng)
時(shí),4(a-2)≤a-1,故m=f(2)=4(a-2);
當(dāng)
時(shí),a-1<4(a-2),故m=f(1)=a-1.
綜上所述,所求函數(shù)的最小值m=
.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查函數(shù)方程思想、分類討論思想,考查學(xué)生運(yùn)用知識解決問題的能力.