Question

已知函數(shù)f(x)=

ex

x2+x+1

-

3e2

49

（e是自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=ax（a是實(shí)數(shù)）．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若在[2，+∞）上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（I）∵f(x)=

ex

x2+x+1

-

3e2

49

∴f′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)2

由f′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)2

＞0，解得x＜0或x＞1
由f′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)2

＜0，解得0＜x＜1
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，0）和（1，+∞）
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，1）
（Ⅱ）考察反面情況：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立
即h(x)=

ex

x2+x+1

-

3e2

49

-ax≥0在x∈[2，+∞）上恒成立
首先h(2)=

e2

7

-

3e2

49

-2a≥0，即a≤

2e2

49

其次，h′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)2

-a考慮M(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)2

∵M′(x)=

ex(x2+x+1)[x3(x-2)+3x2+2x-1]

(x2+x+1)4

＞0在x∈[2，+∞）上恒成立
∴M(x)≥M(2)=

2e2

49

∴當(dāng)a≤

2e2

49

時(shí)，h′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)2

-a≥

2e2

49

-a≥0
∴h（x）在x∈[2，+∞）上遞增，又h（2）≥0
∴h(x)=

ex

x2+x+1

-

3e2

49

-ax≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，故a≤

2e2

49

∴原題的結(jié)論為：a＞

2e2

49