Question

已知點(diǎn)G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x軸上有一點(diǎn)M，滿足|

MA

|=|

MC

|，

GM

=λ

AB

(λ∈R)（若△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則該三角形的重心坐標(biāo)為G(

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

)）．
（1）求點(diǎn)C的軌跡E的方程．
（2）設(shè)（1）中曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過點(diǎn)F₂的直線l交曲線E于P、Q兩點(diǎn)，求△F₁PQ面積的最大值，并求出取最大值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出C的坐標(biāo)，則G點(diǎn)坐標(biāo)可得，進(jìn)而根據(jù)

GM

=λ

AB

判斷出GM∥AB，根據(jù)表示出M的坐標(biāo)，利用|

MA

|=|

MC

|進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式求得x和y的關(guān)系，點(diǎn)C的軌跡方程可得．
（2）由（1）可知焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，把直線與橢圓方程聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂的表達(dá)式，進(jìn)而求得|y₁-y₂|表達(dá)式，根據(jù)三角形面積公式求得三角形面積公式．進(jìn)而根據(jù)均值不等式求得面積的最大值，根據(jù)等號(hào)成立的條件，求得t，則直線的方程可得．

解答：解：（1）設(shè)C（x，y），則G(

x

3

，

y

3

)．
∵

GM

=λ

AB

（λ∈R），∴GM∥AB．又M是x軸上一點(diǎn)，則M(

x

3

，0)．
又∵|

MA

|=|

MC

|，∴

( x 3 )2+(0+1)2

=

( x 3 -x)2+y2

．整理得

x2

3

+y2=1(x≠0)．

（2）由（1），知F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．設(shè)直線l的方程為x=ty+

2

，
由（1），知x≠0，∴l(xiāng)不過點(diǎn)（0，±1），∴t≠±

2

設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將x=ty+

2

代入x2+3y2=3，(t2+3)y2+2

2

ty-1=0．
∴△=8t²+4（t²+3）=12（t²+1）＞0恒成立．∴y1+y2=

-2 2 t

t2+3

，y1•y2=-

1

t2+3

．
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12(t2+1) (t2+3)2

=

2 3 t2+1

t2+3

．
∴S△F1PQ=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

2

|y1-y2|=2

6

t2+1

t2+3

(t≠±

2

)．
∴S△F1PQ=

2 6

t2+1 + 2 t2+1

≤

2 6

2 2

=

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)t²+1=2，即t=±1時(shí)取“=”
所以△F₁PQ的最大值為

3

，此時(shí)直線l的方程為x±y-

2

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，以及直線與圓錐曲線的問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．