Question

已知命題p：y=

1-a

x

在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，命題q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集為空集，若p或q是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題p，q為真命題是的等價(jià)條件，然后利用p或q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：要使y=

1-a

x

在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，則1-a＞0，即a＜1．所以p：a＜1．
不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集為空集，
所以當(dāng)a=2時(shí)，不等式等價(jià)為-4≥0，此時(shí)不成立，解集為空集，滿足條件．
當(dāng)a≠2時(shí)，要使不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集為空集，即不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，
所以必有

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，即

a＜2 (a-2)(a+2)＜0

，
所以

a＜2 -2＜a＜2

，所以-2＜a＜2．
綜上-2＜a≤2，即q：-2＜a≤2．
若p或q是真命題，則p，q至少有一個(gè)是真命題．
當(dāng)p，q同時(shí)為假命題時(shí)，有

a≥1 a＞2或a≤-2

，
解得a＞2．
所以p，q至少有一個(gè)是真命題時(shí)，a≤2．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題的真假判斷和應(yīng)用，要求熟練掌握復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題真假之間的關(guān)系．