Question

已知數(shù)列{a_n}是首項為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數(shù)列．設(shè)bn+2=3log

1

4

an（n∈N^*），數(shù)列{c_n}滿足cn=

1

bn•bn+1

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}成等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}是首項為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數(shù)列，
∴a_n=

1

4

•(

1

4

)n-1=(

1

4

)n，
∵b_n+2=3log

1

4

a_n=3log

1

4

(

1

4

)n=3n（n∈N^*），
∴b_n=3n-2；
∴b_n+1-b_n=3（n+1）-2-（3n-2）=3，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，3為公差的成等差數(shù)列．
（Ⅱ）∵c_n=

1

bn•bn+1

=

1

(3n-2)[3(n+1)-2]

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
∵數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）
=

n

3n+1

．