【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在處的切線與直線平行,求實(shí)數(shù)的值;
(2)試討論函數(shù)在區(qū)間上最大值;
(3)若時,函數(shù)恰有兩個零點(diǎn),求證:.
【答案】(1)n=6(2)見解析(3)見解析
【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求n的值.(2)對n分類討論,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間上最大值.(3)先求出的關(guān)系,再換元t=>1得到,再求最小值大于零即可.
(1)由f′(x)=,,
由于函數(shù)f(x)在(2,f(2))處的切線與直線x﹣y=0平行,
故,解得n=6
(2)f′(x)=,(x>0),
由f′(x)<0時,x>n;f′(x)>0時,x<n,
所以①當(dāng)n≤1時,f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,
故f(x)在[1,+∞)上的最大值為f(1)=m﹣n;
②當(dāng)n>1,f(x)在[1,n)上單調(diào)遞增,在(n,+∞)上單調(diào)遞減,
故f(x)在[1,+∞)上的最大值為f(n)=m﹣1﹣lnn;
(3)證明:n=1時,f(x)恰有兩個零點(diǎn)x1,x2,(0<x1<x2),
由,f(x2)=,得,
∴,
設(shè)t=>1,lnt=,x1=,故x1+x2=x1(t+1)=,
∴,
記函數(shù),因,
∴h(t)在(1,+∞)遞增,∵t>1,∴h(t)>h(1)=0,
又lnt>0,故x1+x2>2成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一種新型的洗衣液,去污速度特別快,已知每投放個(,且)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中, 它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中.若多次投放,則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中洗衣液濃度不低于克/升時,它才能起到有效去污的作用.
(1)若只投放一次個單位的洗衣液,當(dāng)兩分鐘時水中洗衣液的濃度為克/升,求的值;
(2)若只投放一次個單位的洗衣液,則有效去污時間可達(dá)幾分鐘?
(3)若第一次投放個單位的洗衣液,分鐘后再投放個單位的洗衣液,則在第分鐘時洗衣液是否還能起到有效去污的作用?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖正方體的棱長為a,以下結(jié)論不正確的是( 。
A. 異面直線與所成的角為
B. 直線與垂直
C. 直線與平行
D. 三棱錐的體積為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,,.
(1)求和的通項(xiàng)公式;
(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn),動圓與軸相切于點(diǎn),過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn),過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)(均不同于點(diǎn)),且與交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)證明:為定值,并求的方程;
(2)設(shè)直線與的另一個交點(diǎn)為,直線與交于兩點(diǎn),當(dāng)三點(diǎn)共線時,求四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若異面直線所成的角是,則以下三個命題:
①存在直線,滿足與的夾角都是;
②存在平面,滿足,與所成角為;
③存在平面,滿足,與所成銳二面角為.
其中正確命題的個數(shù)為( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,過拋物線上一點(diǎn)作拋物線的切線,交軸于點(diǎn).
(1)判斷的形狀;
(2) 若兩點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)滿足,若拋物線上存在異于的點(diǎn),使得經(jīng)過三點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處的有相同的切線,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1) 討論的單調(diào)性;
(2) 設(shè),當(dāng)時, ,求的取值范圍.
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