Question

設(shè)f（k）是滿(mǎn)足不等式x²-3•g（k）•x+2g²（k）≤0的自然數(shù)x的個(gè)數(shù)，其中g(shù)（k）=2^k-1（k∈N^*）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ） 求f（k）的解析式；
（Ⅲ）記Sn=

n

i=1

f(i)，令P_n=n²+n-1（n∈N^*），試比較S_n與P_n的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，原不等式即x²-3x+2≤0，再結(jié)合x(chóng)∈N^*，可求；
（Ⅱ）將原不等式進(jìn)行等價(jià)變形，再考慮其自然數(shù)x的個(gè)數(shù)，可得f（k）的解析式；
（Ⅲ）先猜后證，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，原不等式即x²-3x+2≤0，解得1≤x≤2，∵x∈N^*，∴x=1，2即f（1）=2（2分）
（Ⅱ）原不等式等價(jià)于（x-2^k）（x-2^k-1）≤0，∴2^k-1≤x≤2^k..（4分）
∴f（k）=2^k-1+1．（6分）（8分）
（Ⅲ）∵Sn=

n

i=1

f(i)=2n+n-1，∴S_n-P_n=2ⁿ-n²
n=1時(shí)，2¹-1²＞0；n=2時(shí)，2²-2²=0，n=3時(shí)，2³-3²0（9分）
猜想：n≥5時(shí)，S_n＞P_n，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明
①當(dāng)n=5時(shí)，S₅＞P₅，已證．（10分）
②假設(shè)n=k（k≥5）時(shí)結(jié)論成立即2^k＞k²
那么n=k+1時(shí)，2^k+1-（k+1）²＞2k²-k²-2k-1=（k-1）²-2
在k≥5范圍內(nèi)，（k-1）²-2＞0恒成立，則2^k+1＞（k+1）²，即S_k+1＞P_k+1
由①②可得，猜想正確，即n≥5時(shí)，S_n＞P_n，．（13分）
綜上所述：當(dāng)n=2，4時(shí)，Sn=Pn，；當(dāng)n=3時(shí)，Sn＜P_n；當(dāng)n=1或n≥5時(shí)，S_n＞P_n，；（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題求解的關(guān)鍵是正確理解題意，同時(shí)考查了歸納猜想的思想，注意數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，