已知二次函數(shù)f(x)滿足:f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)對于x∈R恒成立.
(Ⅰ)求f(1)及f(x)的表達式;
(Ⅱ)設g(x)=
x2-1
f(x)
,定義域為D,現(xiàn)給出一個數(shù)學運算:x1→x2=g(x1)→x3=g(x2)→…→xn=g(xn-1),若xn∈D,則運算繼續(xù)下去;若xn∉D,則運算停止給出x1=
7
3
,請你寫出滿足上述條件的集合D={x1,x2,x3,…xn}.
分析:(I)令x=1,可得f(1)的值,然后根據(jù)f(-1)=0與f(1)的值可求得b以及a與c的等量關系,最后根據(jù)ax2+bx+c≥8x恒成立,可求出a、b、c的值,從而求出所求;
(II)將x1代入g(x)=
x2-1
f(x)
,可求出x2,依此類推,當xn∉D,則運算停止,從而得到滿足上述條件的集合D={x1,x2,x3,…xn}.
解答:解:(Ⅰ)由8x≤f(x)≤4(x2+1),令x=1,得8≤f(1)≤8,∴f(1)=8
設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(1)=8及f(-1)=0得
a+b+c=8
a-b+c=0
⇒b=4,a+c=4
又ax2+bx+c≥8x,即ax2-4x+4-a≥0對x∈R恒成立∴
a>0,
△=16-4ac≤0
,即(a-2)2≤0,
∴a=2,c=2,
故f(x)=2(x+1)2…(6分)
(Ⅱ)由g(x)=
x2-1
f(x)
=
x-1
2(x+1)
=
1
2
-
1
x+1
,由題意x1=
7
3
,x2=g(x1)=
1
5
x3=g(x2)=-
1
3
,x4=g(x3)=-1,x5
無意義,
D={
7
3
,
1
5
,-
1
3
,-1}
.…(12分)
點評:本題主要考查了函數(shù)恒成立問題,以及函數(shù)求值,同時考查了計算能力和轉化的思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,且滿足f(2)=0,求實數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(0,1),且與x軸有唯一的交點(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達式;
(Ⅱ)設函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結論給出證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點,并求出極值點;
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經(jīng)過原點,求f(x)的解析式.

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