Question

設(shè)，．

（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（2）討論與的大小關(guān)系；

（3）求的取值范圍，使得＜對(duì)任意＞0成立

 

Answer 1

【答案】

（1）的最小值為(2)（3）。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。求解函數(shù)的極值問題，以及函數(shù)的單調(diào)性和大小比較的運(yùn)用。

（1）先求解定義域和導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零，得到單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定極值和最值。

（2）設(shè)

然后后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的思想確定單調(diào)性得到最值，比較大小。

（3）由（1）知的最小值為1，所以，

，對(duì)任意，成立

從而得到結(jié)論。

（1）由題設(shè)知，

∴令0得=1，

當(dāng)∈（0，1）時(shí)，＜0，是減函數(shù)，故（0，1）是的單調(diào)減區(qū)間。

當(dāng)∈（1，+∞）時(shí)，＞0，是增函數(shù)，故（1，+∞）是的單調(diào)遞增區(qū)間，

因此，=1是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，

所以的最小值為

(2)

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，即，

當(dāng)時(shí)，，

因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，

即

（3）由（1）知的最小值為1，所以，

，對(duì)任意，成立

即從而得。