Question

已知：圓O₁過點(diǎn)（0，1），并且與直線y=-l相切，則圓O₁的軌跡為C，過一點(diǎn)A（l，1）作直線l，直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N，分別在M、N兩點(diǎn)處作曲線C的切線l₁，l₂，直線l₁，l₂的交點(diǎn)為K．
（I）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）求證：直線l₁，l₂的交點(diǎn)K在一條直線上，并求出此直線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義即可得出；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，聯(lián)立切線的方程即可得到其交點(diǎn)K的坐標(biāo)，再把直線MN的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入交點(diǎn)K的消去參數(shù)即可得到交點(diǎn)K的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意和拋物線的定義可得：曲線C的軌跡是拋物線：x²=4y．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線MN的方程為：y-1=k（x-1）．
由x²=4y，得到y′=

x

2

，
∴過點(diǎn)M處的切線方程為y-y1=

x1

2

(x-x1)，化為x₁x=2（y+y₁），
同理在點(diǎn)N處的切線方程為x₂x=2（y+y₂），
解得K點(diǎn)的坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．
聯(lián)立

y-1=k(x-1) x2=4y

得到x²-4kx+4k-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=4k-4．
∴x_K=2k，y_k=k-1，
消去k得到點(diǎn)K所在的直線方程為：x-2y-2=0．

點(diǎn)評：熟練掌握圓錐曲線的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點(diǎn)斜式、直線與拋物線相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．