Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²．
（1）若a=3，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)k滿足什么條件時(shí)，方程f（x）+k=0只有兩個(gè)解；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象的切線過(guò)點(diǎn)（0，1），且過(guò)該點(diǎn)的切線有兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=3代入函數(shù)f（x）=x³-ax²，求導(dǎo)，解出極值點(diǎn)，列出表格即可求解；
（2）由（1）的表格，畫(huà)出草圖即可求解；
（3）首先設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象的切線過(guò)點(diǎn)（0，1），且過(guò)該點(diǎn)的切線有兩條，根據(jù)斜率和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系列出方程，可知方程只有兩個(gè)根，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法可以求出a值．

解答：解：（1）由于a=3，則f（x）=x³-3x²，所以f'（x）=3x²-6x=0，得x₁=0，x₂=2

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	0	↘	-4	↗

∴f_極大值（x）=f（0）=0f_極小值（x）=f（2）=-4
（2）由（1）得k=0或k=4時(shí)只有兩解；
（3）∵函數(shù)f（x）的圖象的切線過(guò)點(diǎn)（0，1），且過(guò)該點(diǎn)的切線有兩條，
∴設(shè)切點(diǎn)為（x，x³-ax²），又切線過(guò)點(diǎn)（0，1），f′（x）=3x²-2ax，
∴

x3-ax2-1

x

=3x2-2ax，
化簡(jiǎn)得2x³-ax²+1=0…①，∵有兩條切線，
∴方程①只能有兩個(gè)根，
∵2x³-ax²=-1，令h（x）=2x³-ax²，y=-1，則h′（x）=6x²-2ax，令h′（x）=0，解得，x₁=0，x₂=

a

3

，
畫(huà)出h（x）的圖象：利用數(shù)形結(jié)合可得，要是方程①只有兩個(gè)根，∴h（

a

3

）=-1，
∴2×(

a

3

)³-a×(

a

3

)2=-1，解得a=3．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極大值和極小值，列出表格可以畫(huà)出函數(shù)的大致草圖，此題第三問(wèn)比較難，利用數(shù)形結(jié)合的方法求出a的值，難度比較大．