Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， ， 為線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由直棱柱的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而由面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（Ⅱ）以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸，過(guò)點(diǎn)平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量及，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）∵三棱柱是直三棱柱， ∴平面 ，

又平面∴， ∵， 是的中點(diǎn)， ∴，

又平面平面，

∴平面，又平面，∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面，故以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸，過(guò)點(diǎn)平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），

設(shè)，則，

∴，· 設(shè)平面的一個(gè)法向量， 則，即，則，令可得， ，故，

設(shè)直線與平面所成角為，

則，

解得或，即或．