Question

已知F是雙曲線C：（a＞0，b＞0）右焦點(diǎn)，若F到雙曲線C的漸近線的距離是1，且雙曲線C的離心率．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)A（0，1）的直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)P、Q，且P在A、Q之間，若，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)雙曲線的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離是1，得，，根據(jù)雙曲線C的離心率得，，再結(jié)合雙曲線中a，b，c的關(guān)系，解出a，b，就求出雙曲線C的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求出x₁+x₂，x₁x₂，根據(jù)
得到一個(gè)關(guān)于k的等式，解k，即可求出直線l的方程
解答：解：（1）由對稱性，不妨設(shè)一漸近線為，右焦點(diǎn)為F（c，0），
則，即b=1又
∴解得a²=2，所以雙曲線C的方程是；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1，設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由得：（1-2k²）x²-4kx-4=0，
∵l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q，
∴
∴且k＜0①
又∵，∴x₂=2x₁
∴，
∴，滿足①式．
∴直線l的方程為
點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線方程的求法，以及根據(jù)直線與雙曲線位置求直線方程，屬于圓錐曲線的常規(guī)題．