Question

在等比數列{a_n}中，，．設，為數列{b_n}的前n項和．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）若對任意的n∈N^*，不等式恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先確定等比數列的公比，再利用等比數列的通項公式求通項，進而利用裂項法求數列{b_n}的前n項和；
（Ⅱ）分類討論：①當n為偶數時，由λT_n＜n-2恒成立得；②當n為奇數時，由λT_n＜n+2恒成立得，由此可得實數λ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公比為q，由得，
∴．----------------------------------（2分）

=
∴=．----（5分）
（Ⅱ）①當n為偶數時，由λT_n＜n-2恒成立得，恒成立，
即，----------------------------------（6分）
而隨n的增大而增大，∴n=2時，
∴λ＜0；----------------------------------（8分）
②當n為奇數時，由λT_n＜n+2恒成立得，恒成立，
即，-----------------------------------（9分）
而，當且僅當等號成立，
∴λ＜9．---------------------------------------（11分）
綜上，實數λ的取值范圍（-∞，0）．----------------------------------------（12分）
點評：本題考查等比數列的通項，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，考查求最值，屬于中檔題．