Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)．
（Ⅰ）若曲線(xiàn)y=f（x）在x=1和x=3處的切線(xiàn)互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=x²-2x，若對(duì)任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)，知f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

（x＞0）．由曲線(xiàn)y=f（x）在x=1和x=3處的切線(xiàn)互相平行，能求出a的值．
（Ⅱ）f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）對(duì)任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），等價(jià)于在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)，
∴f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

（x＞0）．
∵曲線(xiàn)y=f（x）在x=1和x=3處的切線(xiàn)互相平行，
∴f'（1）=f'（3），
即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+

2

3

，
解得a=

2

3

．
（Ⅱ）f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．
①當(dāng)a≤0時(shí)，x＞0，ax-1＜0，
在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0；
在區(qū)間（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），
單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，

1

a

＞2，
在區(qū)間（0，2）和(

1

a

，+∞)上，f'（x）＞0；
在區(qū)間(2，

1

a

)上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）和(

1

a

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，

1

a

)
③當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f′(x)=

(x-2)2

2x

，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．
④當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，0＜

1

a

＜2，在區(qū)間(0，

1

a

)和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在區(qū)間(

1

a

，2)上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

1

a

)和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是(

1

a

，2)．
（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．
由已知，g（x）_max=0，由（Ⅱ）可知，
①當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
故f（x）_max=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2，
所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，
故ln2-1＜a≤

1

2

．
②當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，f（x）在(0，

1

a

]上單調(diào)遞增，
在[

1

a

，2]上單調(diào)遞減，
故f(x)max=f(

1

a

)=-2-

1

2a

-2lna．
由a＞

1

2

可知lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，
2lna＞-2，-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，f（x）_max＜0，
綜上所述，a＞ln2-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題中的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．易錯(cuò)點(diǎn)是分類(lèi)不清導(dǎo)致致出錯(cuò)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．