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【題目】如圖，在棱長為1的正方體中，動點在線段上運動，且有.

（1）若，求證：；

（2）若二面角的平面角的余弦值為，求實數的值.

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）當時，與重合，連接，可得，再由正方體特征可證得，即可證得平面，問題得證。

（2）以為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系.分別求出平面的一個法向量及平面的一個法向量，利用向量夾角的坐標表示列方程即可求得，問題得解。

（1）當時，與重合，連接，

則在正方形中，.

又在正方體中底面，而平面，所以.

，所以平面，

而平面，所以，也即.

（2）依題意，以為坐標原點，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，.

，，.

設平面的一個法向量，

則，即，

取得.

設平面的一個法向量，

則，即，

取得.

所以 ，

解得或.

因為，所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數(為自然對數的底數).

（1）若對于任意實數，恒成立，試確定的取值范圍；

（2）當時，函數在上是否存在極值?若存在，請求出這個極值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某單位共有職工1000人，其中男性700人，女性300人，為調查該單位職工每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集200位職工每周平均體育運動時間的樣本數據（單位：小時）．

（1）根據這200個樣本數據，得到職工每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據的分組區(qū)間為：，，，，，.估計該單位職工每周平均體育運動時間超過4小時的概率；

（2）估計該單位職工每周平均體育運動時間的平均數和中位數（保留兩位小數）；

（3）在樣本數據中，有40位女職工的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“該單位職工的每周平均體育運動時間與性別有關”，

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

附：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列關于命題的說法錯誤的是（ ）

A.命題“若x2﹣3x+2＝0，則x＝2”的逆否命題為“若x≠2，則x2﹣3x+2≠0”

B.“a＝2”是“函數f（x）＝ax在區(qū)間（﹣∞，+∞）上為增函數”的充分不必要條件

C.命題“x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“x∈R，均有x2+x+1≥0”

D.“若f ′（）＝0，則為y＝f（x）的極值點”為真命題

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，若點P（x0，4）在拋物線C上，且.

（1）求拋物線C的方程；

（2）動直線l：x＝my+1（mR）與拋物線C相交于A，B兩點，問：在x軸上是否存在定點D（t，0）（其中t≠0），使得kAD+kBD＝0，（kAD，kBD分別為直線AD，BD的斜率）若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓C： ，直線l：

（Ⅰ）求直線l所過定點A的坐標；

（Ⅱ）求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值及最短弦長；

（Ⅲ）已知點，在直線MC上（C為圓心），存在定點N（異于點M），滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數，試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（其中為自然對數的底數，）.

（1）若是函數的極值點，求的值，并求的單調區(qū)間；

（2）若時都有，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，平面，底面是正方形，且,為中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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