Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若對任意的n∈N^*，有a_n＞0且成立．
（1）求a₁、a₂的值；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并寫出其通項公式a_n；
（3）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，令，若對一切正整數(shù)n，總有T_n≤m，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）解：令n=1，則a₁=1，…（2分）
令n=2，則=a₁+a₂，∴a₂=2；…（4分）
（2）證明：當n≥2時，+，+，
兩式作差可得=a_n（S_n+S_n-1），∴=S_n+S_n-1，…（6分）
同理=S_n+1+S_n，
兩式作差可得-=a_n+1+a_n，∴a_n+1-a_n=1（n≥2），…（7分）
由（1）可知a₂-a₁=，所以a_n+1-a_n=1對任意n∈N^*，都成立，…（8分）
所以數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項a₁=1，公差為1，所以a_n=n；…（10分）
（3）解：S_n=，…（11分）
T_n+1-T_n=-=…（12分）
當n=1時，T_n+1-T_n＞0，∴T_n+1＞T_n，
當n=2時，T_n+1-T_n=0，∴T_n+1=T_n，
當n≥3時，T_n+1-T_n＜0，∴T_n+1＜T_n，…（14分）
所以數(shù)列{T_n}的最大項為T₂，…（15分）
因此m≥（T_n）_max=T₂=．…（16分）
分析：（1）利用遞推關系式，賦值可求a₁、a₂的值；
（2）利用遞推式，兩邊平方，再寫一式相減，然后再用同樣的方法，可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求通項公式a_n；
（3）求和，作差，確定數(shù)列{T_n}的最大項，從而可求m的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查恒成立問題，確定數(shù)列的通項，作差確定數(shù)列的最大項是解題的關鍵．