Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=cos²x+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$．
（1）用a表示f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值M（a）；
（2）當(dāng)M（a）=$\frac{1}{4}$時(shí)，求a的值，并對(duì)此a值求f（x）的最大值；
（3）問a取何值時(shí)，方程f（x）=（1+a）sinx在[0，π）上有兩解？

Answer 1

分析 （1）用二倍角公式對(duì)f（x）化簡(jiǎn)得f（x）=-sin²x+asinx+$\frac{2-a}{4}$，設(shè)sinx=t，則函數(shù)g（t）是開口向下，對(duì)稱軸為t=$\frac{a}{2}$的拋物線，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)a進(jìn)行討論得出答案．
（2）M（a）=$\frac{1}{4}$代入（1）中的M（a）的表達(dá)式即可得出結(jié)果；
（3）若f（x）=（1+a）sinx在[0，π）上有兩解，即t²+t-$\frac{2-a}{4}$=0在[0，1]上有兩解，故$\left\{\begin{array}{l}1+（2-a）＞0\\-\frac{2-a}{4}≥0\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）f（x）=cos²x+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$=-sin²x+asinx+$\frac{2-a}{4}$，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$
∴0≤sinx≤1
令sinx=t，則g（t）=-t²+at+$\frac{2-a}{4}$，t∈[0，1]
則函數(shù)g（t）是開口向下，對(duì)稱軸為t=$\frac{a}{2}$的拋物線，
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥$\frac{1}{2}$，即a≥1時(shí)，M（a）=f（0）=$\frac{1}{2}-\frac{a}{4}$，
當(dāng)$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即a＜1時(shí)，M（a）=f（1）=$\frac{3a}{4}-\frac{1}{2}$，
∴M（a）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{3a}{4}-\frac{1}{2}，a＜1\\ \frac{1}{2}-\frac{a}{4}，a≥1\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)$\frac{a}{2}$≥$\frac{1}{2}$，即a≥1時(shí)，M（a）=$\frac{1}{2}-\frac{a}{4}$=$\frac{1}{4}$，解得：a=1；
當(dāng)$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即a＜1時(shí)，M（a）=$\frac{3a}{4}-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，解得：a=1（舍去）；
故a=1．
此時(shí)f（x）=g（t）=-t²+t+$\frac{1}{4}$，t∈[0，1]，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取最大值$\frac{1}{2}$；
（3）若f（x）=（1+a）sinx在[0，π）上有兩解，
即sin²x+sinx-$\frac{2-a}{4}$=0在[0，π）上有兩解，
即t²+t-$\frac{2-a}{4}$=0在[0，1]上有兩解，
故$\left\{\begin{array}{l}1+（2-a）＞0\\-\frac{2-a}{4}≥0\end{array}\right.$，
解得：a∈[2，3）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用和二次函數(shù)的性質(zhì)．在二次函數(shù)的性質(zhì)的使用的時(shí)候要特別注意對(duì)稱軸的位置．