Question

已知函數(shù)．，其中a，b∈R
（1）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程列方程f′（2）=3，再由切點在切線上和曲線上列方程，分別求出a和b；
（2）由解析式求出函數(shù)的定義域，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式對a進(jìn)行分類：a≥0和a＜0，分別求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，再表示成區(qū)間的形式．
解答：解：（1）由題意得=，
∵在點P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，
∴f′（2）==3，且f（2）=7=，
解得，a=-16，b=17，
故函數(shù)f（x）的解析式：，
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
且=，
當(dāng)a≥0時，恒有f'（x）≤0，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時，令f'（x）=0，解得x=，
當(dāng)x＞或x＜-時，f'（x）＜0；當(dāng)-＜x＜且x≠0時，f'（x）＞0，
∴f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-），（，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（-，0），（0，），
綜上得，當(dāng)a≥0時，函數(shù)的f（x）的減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時，減區(qū)間為（-∞，-），（，+∞），增區(qū)間為（-，0），0，）．
點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切點在曲線上和切線上的應(yīng)用等，考查了分類討論思想．