已知函數(shù).,其中a,b∈R
(1)若曲線y=f(x)在點P(2,f(2))處的切線方程為y=3x+1,求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】分析:(1)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程列方程f′(2)=3,再由切點在切線上和曲線上列方程,分別求出a和b;
(2)由解析式求出函數(shù)的定義域,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式對a進(jìn)行分類:a≥0和a<0,分別求出f'(x)<0和f'(x)>0的解集,再表示成區(qū)間的形式.
解答:解:(1)由題意得=,
∵在點P(2,f(2))處的切線方程為y=3x+1,
∴f′(2)==3,且f(2)=7=,
解得,a=-16,b=17,
故函數(shù)f(x)的解析式:,
(2)函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),
=
當(dāng)a≥0時,恒有f'(x)≤0,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞);
當(dāng)a<0時,令f'(x)=0,解得x=,
當(dāng)x>或x<-時,f'(x)<0;當(dāng)-<x<且x≠0時,f'(x)>0,
∴f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-),(,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為(-,0),(0,),
綜上得,當(dāng)a≥0時,函數(shù)的f(x)的減區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞);
當(dāng)a<0時,減區(qū)間為(-∞,-),(,+∞),增區(qū)間為(-,0),0,).
點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切點在曲線上和切線上的應(yīng)用等,考查了分類討論思想.
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(12分)已知函數(shù)f(x)=(其中A>0,)的圖象如圖所示。

(Ⅰ)求A,w及j的值;

(Ⅱ)若tana=2, ,求的值。

 

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