Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

cos²x-2sinxcosx-

3

，
（1）求函數(shù)的最小正周期及取得最小值的x的集合；
（2）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．
（3）求f（x）在x=

π

3

處的切線方程．

Answer 1

分析：利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，
（1）直接利用周期公式求出函數(shù)f （x）的最小正周期；利用正弦函數(shù)的最值，求出函數(shù)f （x）的最小值，以及取得最小值時x的取值集合；
（2）通過正弦函數(shù)的單調增區(qū)間，直接求出函數(shù)f （x）的單調減區(qū)間；
（3）先求函數(shù)的導數(shù)，然后求出切線的斜率，即可求出結果．

解答：解：（1）∵f（x）=2

3

cos²x-2sinxcosx-

3

=

3

（cos2x+1）-sin2x-

3

 …（2分）
=2cos（2x+

π

6

）=-2sin(2x-

π

3

)…（4分）
最小正周期為π           …（5分）
當2x+

π

6

=π+2kπ時，即x=

5π

12

+kπ，k∈z函數(shù)有最小值-2  …（7分）
（2）2kπ-π≤2x+

π

6

≤2kπ            …（8分）
∴kπ-

7π

12

≤x≤kπ-

π

12

，k∈Z
函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]，k∈Z   …（10分）
（3）因為f/(x)=-4cos(2x-

π

3

)…（11分）
所以k=f/(

π

3

)=-2…（12分）
而f(

π

3

)=-

3

從而f（x）在x=

π

3

處的切線方程為y+

3

=-2(x-

π

3

)
即6x+3y+3

3

-2π=0…（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)的二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)的應用，考查函數(shù)周期、單調增區(qū)間的求法，考查計算能力，�？碱}型．