Question

已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），若數(shù)列：2，f（a₁），f（a₂），…，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）若0＜a＜1，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求；
（3）若a=2，令b_n=a_n•f（a_n），對任意，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）2n+4=2+（n+2-1）d，
∴d=2，
∴f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，
∴．
（2）因為，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為a²，
所以，
所以==．
（3）由已知與（2）可得：
．，
∴b_n+1＞b_n．
∴{b_n}為遞增數(shù)列
∴b_n中最小項為，
∴2⁶＞2^t，
∴t＜6．
分析：（1）利用數(shù)列：2，f（a₁），f（a₂），…，成等差數(shù)列，推出數(shù)列的公差，求出f（a_n），利用對數(shù)關(guān)系，求出數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）求出數(shù)列的前n項和，利用若0＜a＜1，直接求解；
（3）利用a=2，求出b_n=a_n•f（a_n）的表達式，利用對任意，得到2⁶＞2^t，然后求實數(shù)t的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列的極限，數(shù)列的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力．