【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3x
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若方程x3﹣3x﹣a+1=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f'(x)=3x2﹣3由f'(x)=0解得x=±1

列表如下:

x

(﹣∞,﹣1)

﹣1

(﹣1,1)

1

(1,+∞)

f'(x)

+

0

0

+

f(x)

極大值f(﹣1)

極小值f(1)

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(﹣∞,﹣1),(1,+∞)

單調(diào)遞減區(qū)間是(﹣1,1)

函數(shù)的極大值是f(﹣1)=2,極小值是f(1)=﹣2


(2)解:方程x3﹣3x﹣a+1=0即為方程x3﹣3x=a﹣1

令y=x3﹣3x和y=a﹣1,方程x3﹣3x﹣a+1=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根即上述兩個(gè)函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)y=a﹣1是一條直線而y=x3﹣3x的圖象大致如下:

如圖要使兩個(gè)函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)

則有:﹣2<a﹣1<2,解得:﹣1<a<3


【解析】(1)先求導(dǎo)數(shù)fˊ(x)然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,fˊ(x)>0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間,fˊ(x)<0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間,從而求函數(shù)f(x)的極值;(2)方程x3﹣3x﹣a+1=0即為方程x3﹣3x=a﹣1,令y=x3﹣3x和y=a﹣1,方程x3﹣3x﹣a+1=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)函數(shù)何時(shí)有三個(gè)不同交點(diǎn)的問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合,問(wèn)題得解.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程;
(2)設(shè)l與圓C相交于兩點(diǎn)A,B,求點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離之積.

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②存在常數(shù)T>0,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,恒有f(x+T)=f(x);
③對(duì)于任意給定的正數(shù)M,都存在實(shí)數(shù)x0 , 使得|f(x0)|≥M;
④函數(shù)f(x)在[0,π]上的最大值是
其中正確結(jié)論的序號(hào)是(請(qǐng)把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上).

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A.
B.
C.
D.

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年齡

頻率

5

10

15

10

5

5

支持“生育二胎”

4

5

12

8

2

1

(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2乘2列聯(lián)表,并問(wèn)是否有99%的把握認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)對(duì)“生育二胎放開(kāi)”政策的支持度有差異:

(2)若對(duì)年齡在的被調(diào)查人中隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查,恰好這兩人都支持“生育二胎放開(kāi)”的概率是多少?

參考數(shù)據(jù): , .

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(2)若f(x)為“e函數(shù)”且 ,
(。┣笞C:f(x)的零點(diǎn)在 上;
(ⅱ)求證:對(duì)任意a>0,存在λ>0,使f(x)<0在(0,λa)上恒成立.

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A.3
B.4
C.5
D.6

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