拋物線y2=2px上弦長為a(a≥2p)的弦的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的最小值為:________.
分析:根據(jù)題意可求得拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo),記弦的兩端點(diǎn)為A、B,AB的中點(diǎn)為M,它們在l上的射影分別是A
1,B
1,M
1;利用拋物線的定義可求得|AF|=|AA
1|,|BF|=|BB
1|,進(jìn)而表示出M到y(tǒng)軸的距離d,分析出當(dāng)A,B,F(xiàn)共線時等號成立求得答案.
解答:拋物線的準(zhǔn)線l的方程為:x=-
,焦點(diǎn)F(
,0),
記弦的兩端點(diǎn)為A、B,AB的中點(diǎn)為M,它們在l上的射影分別是A
1,B
1,M
1;
于是有:|AF|=|AA
1|,|BF|=|BB
1|,
M到y(tǒng)軸的距離d=|MM
1|-
=
(|AA
1|+|BB
1|)-
=
(|AF|+|BF|)-
≥
|AB|-
=
,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,F(xiàn)共線時等號成立.
點(diǎn)評:本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì).過焦點(diǎn)的弦最短是通徑,長為2p.