Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0，n∈N^*，則a₂=

4

3

；并歸納出數(shù)列an的通項公式an=

2n

2n-1

．

Answer 1

分析：令n=1，利用a₁=2，a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0，可求得a₂，a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0變形為2(

1

an+1

-1)=

1

an

-1，從而{

1

an

-1}為等比數(shù)列，首項為-

1

2

，公比為

1

2

，故可求通項公式．

解答：解：由 a₁=2，a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0得a2=

4

3

．
a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0可變形為2(

1

an+1

-1)=

1

an

-1，
∵a₁=2，∴

1

a1

-1=-

1

2

∴{

1

an

-1}為等比數(shù)列，首項為-

1

2

，公比為

1

2

，
所以

1

an

-1=(-

1

2

)×(

1

2

)n-1，an=

2n

2n-1

．
故答案為：

4

3

，an =

2n

2n-1

點評：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，考查數(shù)列的通項，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)列，證明其為等比數(shù)列．