Question

已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)M（）．
（1）求圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，試求點(diǎn)P到直線x+y-4=0的距離的最小值；
（3）若直線l與圓C相切，且l與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，求△ABC的面積最小時(shí)直線
l的方程．

Answer 1

解：（1）由題意可得：圓C的半徑為，…（2分）
所以圓C的方程為x²+y²=4…（3分）
（2）圓心到直線l的距離為，…（4分）
所以P到直線l：x+y-4=0的距離的最小值為：…（6分）
（3）設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，
因?yàn)閘與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，所以k＜0，b＞0，且，
又因?yàn)閘與圓C相切，
所以C點(diǎn)到直線l的距離等于圓的半徑2，即：，①，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/303153.png' />②…（8分）
所以將①代入②得，
當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)k=-1時(shí)，△ABC的面積最小，
此時(shí)，
所以直線l的方程為：…（10分）
分析：（1）根據(jù)圓的定義求出圓的半徑，進(jìn)而結(jié)合題意寫出圓的方程．
（2）由圓的性質(zhì)可得：P到直線l：x+y-4=0的距離的最小值是圓心到直線l的距離減去半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得答案．
（3）設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，根據(jù)題意可得：k＜0，b＞0，又因?yàn)閘與圓C相切，得到b關(guān)于k的一個(gè)關(guān)系式，再用b與k表示出三角形的面積可得：，然后利用基本不等式求出面積的最大值與k、b的值即可．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一個(gè)性質(zhì)，以及結(jié)合點(diǎn)到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系．