Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+b²，當(dāng)x=-1時(shí)，有極值8，則a+b=

-

9

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+b²在x=-1時(shí)，有極值8，可知f′（-1）=0和f（-1）=8，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，解方程組

f′(-1)=0 f(-1)=8

，注意驗(yàn)證，可求得答案．

解答：解：由f（x）=x³+ax²+bx+b²，
得f′（x）=3x²+2ax+b，

f′(-1)=0 f(-1)=8

，即

-2a+b+3=0 b2+a-b-1=8

，
解得

a= 1 4 b=- 5 2

或

a=3 b=3

，
當(dāng)

a=3 b=3

時(shí)，f′（x）=3x²+6x+3=3（x+1）²，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞-1時(shí)，f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在-1的兩邊都是增函數(shù)，
此時(shí)，函數(shù)在x=-1時(shí)沒(méi)有極值，應(yīng)舍去．
當(dāng)

a= 1 4 b=- 5 2

時(shí)，f′（x）=3x²+

1

2

x-

5

2

=

1

2

（x+1）（6x-5）
當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)

5

6

＞x＞-1時(shí)，f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）在-1的兩邊導(dǎo)數(shù)值異號(hào)，
此時(shí)，函數(shù)在x=-1時(shí)有極值．
∴

a= 1 4 b=- 5 2

，
∴a+b=-

9

4

，
故答案為：-

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，注意f′（x₀）=0是x=x₀是極值點(diǎn)的必要不充分條件，因此對(duì)于解得的結(jié)果要檢驗(yàn)，這是易錯(cuò)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．