Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底，）
（1）求的解析式；
（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是3？如果存在，求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）
（2）略
（3）存在實(shí)數(shù)，使得時(shí)，有最小值3

解：（1），則
所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823151633707270.gif" style="vertical-align:middle;" />是定義在上的奇函數(shù)，
所以…………2分
故函數(shù)的解析式為
……3分
 （2）證明：當(dāng)

設(shè)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823151634706525.gif" style="vertical-align:middle;" />
所以當(dāng)時(shí)，
此時(shí)單調(diào)遞減…………5分
當(dāng)，此時(shí)單調(diào)遞增
所以的最小值為
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823151634909653.gif" style="vertical-align:middle;" />
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減
所以的最大值為的最小值
所以當(dāng)時(shí)，…………8分
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)，時(shí)，有最小值為3
則…………9分
① 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，
最小值為，不滿足最小值是3
②當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增，的最小值是，也不滿足最小值3
③當(dāng)，
故函數(shù)增函數(shù)。
所以的最小值為，解得（舍去）
④當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)
當(dāng)，
此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)
所以的最小值為，解得……611分
綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得時(shí)，有最小值3…………12分