Question

過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)F₂作垂直于實(shí)軸的弦PQ，F(xiàn)₁是左焦點(diǎn)，若∠PF₁Q=90°，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A、

  2

• B、1+

  2

• C、2+

  2

• D、3-

  2

Answer 1

分析：根據(jù)過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)F₂作垂直于實(shí)軸的弦PQ，得到P，Q，F(xiàn)₂的橫坐標(biāo)都是c，且P和Q關(guān)于F點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，設(shè)出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，∠PF₁Q=90°，根據(jù)

F1P

•

F1Q

=0求得關(guān)于a，b，和c的一個(gè)方程，根據(jù)c2=a2+b2，消去b，得到關(guān)于a，c的一個(gè)方程，即可解得雙曲線的離心率．

解答：解：由于PQ過(guò)F2，所以P，Q，F(xiàn)₂的橫坐標(biāo)都是c，且由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，P和Q關(guān)于F點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，也就是P和Q的縱坐標(biāo)是相反數(shù)，
那么設(shè)P（c，y₀），Q（c，-y₀），而F₁（-c，0）
那么

F1P

=（2c，y₀），

F1Q

=（2c，-y₀）
∵∠PF₁Q=90°，∴

F1P

•

F1Q

=0，
即（2c，y₀）•（2c，-y₀）=0
∴4c²-y₀²=0，
由于P在雙曲線上，所以P滿足

c2

a2

-

y02

b2

=1，
又因?yàn)?span id="7pvdfia" class="MathJye">

c2

a2

=e²，
把上式變形，得y₀²=b²（e²-1）
代入4c²-y₀²=0，有4c²-b²（e²-1）=0
即4c²-（c²-a²）（e²-1）=0
同時(shí)除以a²，有4e²-（e²-1）（e²-1）=0
整理上式，有e⁴-6e²+1=0
解得e²=3±2

2

，∵e＞1
∴e²═3+2

2

=（1+

2

）²
∴e=1+

2

故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和雙曲線的定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)合的思想方法，求雙曲線的離心率即尋求關(guān)于a，c的一個(gè)齊次式，解此方程即可求得結(jié)果，體現(xiàn)方程的方法．