Question

12．已知拋物線y²=2px（p＞0），F(xiàn)為其焦點(diǎn)，l為其準(zhǔn)線，過F作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，A′，B′分別為A，B在l上的射線，M為A′B′的中點(diǎn)，給出下列命題：
①A′F⊥B′F；
②AM⊥BM；
③A′F∥BM；
④A′F與AM的交點(diǎn)在y軸上；
⑤AB′與A′B交于原點(diǎn)．
其中真命題的是①②③④⑤．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①由于A，B在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知A'F=AF，B'F=BF，從而由相等的角，由此可判斷A'F⊥B'F；
②取AB中點(diǎn)C，利用中位線即拋物線的定義可得CM=$\frac{1}{2}（AF+BF）=\frac{1}{2}AB$，從而AM⊥BM；
③由②知，AM平分∠A′AF，從而可得A′F⊥AM，根據(jù)AM⊥BM，利用垂直于同一直線的兩條直線平行，可得結(jié)論；
④取AB⊥x軸，則四邊形AFMA'為矩形，則可得結(jié)論；
⑤取AB⊥x軸，則四邊形ABB'A'為矩形，則可得結(jié)論．

解答 解：①由于A，B在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知A'A=AF，B'B=BF，因?yàn)锳′、B′分別為A、B在l上的射影，所以A'F⊥B'F；
②取AB中點(diǎn)C，則CM=$\frac{1}{2}（AF+BF）=\frac{1}{2}AB$，∴AM⊥BM；
③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A'F∥BM；
④取AB⊥x軸，則四邊形AFMA′為矩形，則可知A'F與AM的交點(diǎn)在y軸上；
⑤取AB⊥x軸，則四邊形ABB'A'為矩形，則可知AB'與A'B交于原點(diǎn)
故答案為①②③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題以拋物線為載體，考查拋物線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用拋物線的定義．