已知a>0,≠1,f(logax)=
a
a2-1
(x-
1
x
).
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式,并寫出函數(shù)f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并給出證明;
(3)若不等式f(x2)+f(kx+1)≤0對(duì)實(shí)數(shù)x∈(1,2)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(1)令logax=t則x=at
所以f(t)=
a
a2-1
(at-a-t
f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x),定義域?yàn)镽

(2)f′(x)=
a
a2-1
lna(ax+a-x
當(dāng)a>1時(shí),
a
a2-1
>0,lna>0,
f′(x)>0,f(x)在R上單增
當(dāng)0<a<1時(shí),
a
a2-1
<0,lna<0f′(x)>0,f(x)在R上單增
總之f(x)在R單增

(3)∵f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)

∴f(-x)=-f(x)
∴f(x2)+f(kx+1)≤0
即為f(x2)≤f(-kx-1)
∵f(x)單增
∴不等式f(x2)+f(kx+1)≤0對(duì)實(shí)數(shù)x∈(1,2)恒成立
即為x2≤-kx-1對(duì)實(shí)數(shù)x∈(1,2)恒成立
即-k≥x+
1
x
對(duì)實(shí)數(shù)x∈(1,2)恒成立
∵x+
1
x
∈(2,
5
2
)

∴-k≥
5
2

∴k≤-
5
2
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>0,≠1,f(logax)=
a
a2-1
(x-
1
x
).
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式,并寫出函數(shù)f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并給出證明;
(3)若不等式f(x2)+f(kx+1)≤0對(duì)實(shí)數(shù)x∈(1,2)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>0,設(shè)函數(shù)f(x)=
2009x+1+20072009x+1
+sinx(x∈[-a,a])
的最大值為M,最小值為N,那么M+N=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•金華模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+x.
(1)若f(x)在(0,+∞)是增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)已知a<0,對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上任意不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),其中x2>x1,直線AB的斜率為k,記N(u,0),A1(x1,y1),B1(x2,y2),若
A1B1
A1N
(1≤λ≤2)
,求證:f′(u)<k.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知a>0,≠1,f(logax)=數(shù)學(xué)公式(x-數(shù)學(xué)公式).
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式,并寫出函數(shù)f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并給出證明;
(3)若不等式f(x2)+f(kx+1)≤0對(duì)實(shí)數(shù)x∈(1,2)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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