Question

定義在區(qū)間（1，+∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對(duì)任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a）．
設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

a+2

x+1

（x＞1），其中a為實(shí)數(shù)．
（1）求證：函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a）；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后將其配湊成f′（x）=h（x）（x²-ax+1）這種形式，再說明h（x）對(duì)任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，即可證明函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（b）；
（2）根據(jù)第一問令φ（x）=x²-bx+1，討論對(duì)稱軸與2的大小，當(dāng)a≤2時(shí)，對(duì)于x＞1，φ（x）＞0，所以f′（x）＞0，可得f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)性，當(dāng)a＞2時(shí)，φ（x）圖象開口向上，對(duì)稱軸 x=

a

2

＞1，可求出方程φ（x）=0的兩根，判定兩根的范圍，從而確定φ（x）的符號(hào)，得到f′（x）的符號(hào)，最終求出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

-

a+2

(x+1)2

=

1

x(x+1)2

（x²-ax+1）
∵x＞1時(shí)，h（x）=

1

x(x+1)2

＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（b）；
（2）當(dāng)a≤2時(shí)，對(duì)于x＞1，φ（x）=x²-ax+1≥x²-2x+1=（x-1）²＞0
所以f′（x）＞0，故此時(shí)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增；
當(dāng)a＞2時(shí)，φ（x）圖象開口向上，對(duì)稱軸 x=

a

2

＞1，
方程φ（x）=0的兩根為：

a+ a2-4

2

，

a- a2-4

2

，而

a+ a2-4

2

＞1，

a- a2-4

2

=

2

a+ a2-4

∈（0，1）
當(dāng) x∈（1，

a+ a2-4

2

）時(shí)，φ（x）＜0，f′（x）＜0，
故此時(shí)f（x）在區(qū)間 （1，

a+ a2-4

2

）上遞減；
同理得：f（x）在區(qū)間[

a+ a2-4

2

，+∞）上遞增．
綜上所述，當(dāng)b≤2時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增；
當(dāng)b＞2時(shí)，f（x）在 （1，

a+ a2-4

2

）上遞減；f（x）在[

a+ a2-4

2

，+∞）上遞增

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題