已知函數(shù)f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在[0，
π
2
]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x0）=
6
5
，x0∈[
π
4
，
π
2
]，求cos2x0的值．
分析：（1）利用二倍角的正弦與余弦及三角函數(shù)間的關(guān)系可將f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x-1化為：f（x）=2sin（2x+
π
6
），從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期及在[0，
π
2
]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+
π
6
）=
6
5
，可求得sin（2x0+
π
6
）=
3
5
，繼而可求得cos（2x0+
π
6
）=-
4
5
，而2x0=（2x0+
π
6
）-
π
6
，利用兩角差的余弦即可求得cos2x0．
解答：解：（1）由數(shù)f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x-1，得
f（x）=
3
sin2x+cos2x=2sin（2x+
π
6
），
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
∵2kπ-
π
2
＜2x+
π
6
＜2kπ+
π
2
，k∈Z
∴x∈（kπ-
π
3
，kπ+
π
6
），k∈Z
又x∈[0，
π
2
]，f（x）=2sin（2x+
π
6
）在[0，
π
2
]上的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，
π
6
）；
（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+
π
6
），
∵f（x0）=
6
5
，
∴sin（2x0+
π
6
）=
3
5
，
由x0∈[
π
4
，
π
2
]，得2x0+
π
6
∈[
2π
3
，
7π
6
]．
從而cos（2x0+
π
6
）=-
1-sin2(2x0+
π
6
)
=-
4
5

∴cos2x0=cos[（2x0+
π
6
）-
π
6
]
=cos（2x0+
π
6
）cos
π
6
+sin（2x0+
π
6
）sin
π
6

=
3-4
3
10
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的正弦與余弦及三角函數(shù)間的關(guān)系，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性及周期性，考查兩角差的余弦，屬于中檔題．
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已知函數(shù)f（x）=2-
1
x
，（x＞0），若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使y=f（x）的定義域?yàn)椋╝，b）時(shí)，值域?yàn)椋╩a，mb），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

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已知函數(shù)f（x）=2+log0.5x（x＞1），則f（x）的反函數(shù)是（　�。�

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（2013•上海）已知函數(shù)f（x）=2-|x|，無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f（an），n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
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（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由．

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選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5，若函數(shù)f（x）的最小值為m
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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