Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=-7，a₂=5，且滿(mǎn)足a_n+2=a_n+2（n∈N₊），則a₁+a₃+a₅+…+a₁₈=

114

．

Answer 1

分析：令數(shù)列{a_n}奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列a₁、a₃、a₅、a₇…為數(shù)列{b_n}，偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列a₂、a₄、a₆、a₈…為數(shù)列{c_n}．由題設(shè)知數(shù)列{b_n}和數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，公差都等于2．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n=n²-8n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為C_n=n²+4n．所以a₁+a₃+a₅+…+a₁₈=（a₁+a₃+a₅+…+a₁₇）+（a₂+a₄+a₆+…+a₁₈）-（a₂+a₄），由此能求出其結(jié)果．

解答：解：∵a_n+2=a_n+2（n∈N₊），
∴a_n+2-a_n=2．
令數(shù)列{a_n}奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列a₁、a₃、a₅、a₇…為數(shù)列{b_n}，偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列a₂、a₄、a₆、a₈…為數(shù)列{c_n}
∴數(shù)列{b_n}和數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，公差都等于2
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n=b_1n+n（n-1），
b₁=a₁=-7，
B_n=-7n+n（n-1）=n²-8n，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為C_n=c_1n+n（n-1），
c₁=a₂=5，
C_n=5n+n（n-1）=n²+4n
a₁+a₃+a₅+…+a₁₈=（a₁+a₃+a₅+…+a₁₇）+（a₂+a₄+a₆+…+a₁₈）-（a₂+a₄）
=9²-8×9+9²+4×9-（2²+4×2）=114．
故答案為：114．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．